ترجمه مقاله تخمین پارامتر بهبود یافته در شناسایی آنلاین یک ژنراتور سنکرون

انتخاب زیر مجموعه برای تخمین پارامتر بهبود یافته در شناسایی آنلاین یک ژنراتور سنکرون

Subset selection for improved parameter estimation in on-line identification of a synchronous generator

 

 

ما در این مقاله اثبات می‌کنیم که برای مدل ژنراتور سنکرون به کار رفته در آزمایش‌های شناسائی مرجع [16]، و برای اندازه‌گیری‌های با کیفیت مشابه (ترکیب با مدل مرجع [16]، چون داده‌های اصلی در اختیار ما قرار نداشتند)، استراتژی ارائه شده منجر به فرایند تخمین کاهش مرتبه و تخمین‌ دیگر پارامترهای مرتبطی می‌شود که نسبت به حالتی که همه پارامترها با هم تخمین زده ‌شوند، رفتار بهتری از خود نشان می‌دهد. بخش II مقاله به طور خلاصه مساله حداقل مربعات غیرخطی را مرور کرده و روی نقش ژاکوبینِ (یا گرادیان یا ماتریس مشتق اول) بردار خطا نسبت به بردار پارامتری در یافتن تخمین حداقل مربعات روش گوس- سایدل تاکید دارد؛ همچنین Hessian (یا ماتریس مشتق دوم) معیار خطا نسبت به بردار پارامتری تعریف می‌شود. سپس همین بخش، ایده اصلی فرایند انتخاب زیرمجموعه‌ای را که به ژاکوبین یا Hessian اعمال می‌شود را بیان کرده و در نهایت الگوریتم را به صورت جزئیاتی تشریح می‌کند. بخش III سیستم تست را توصیف کرده و نحوه استخراج مقادیر آزمایش‌های شناسائی را توضیح می‌دهد، سپس نتایج آزمایش‌های تخمین مختلفِ انجام شده روی سیستم را ارائه می‌کند. برخی نتیجه‌گیری‌ها نیز در بخش IV بیان شده است.

 

سفارش ترجمه تخصصی مهندسی برق

 

 

II . روش تخمین حداقل مربعات و انتخاب زیرمجموعه

1. مساله حداقل مربعات غیرخطی

برازش حداقل مربعاتِ یک مدل برای داده‌های آزمایشگاهی (تجربی) یک رویه معمول در مهندسی است. در این روش، پارامترهای یک مدل به گونه‌ای تعیین می‌شوند که مجموع مربعات مولفه‌های بردار خطای (باقی‌مانده) N مولفه‌ای، کمینه شود:

 

که θ نشان‌دهنده بردار-n پارامترهای مدل ، y^(θ) بردار-N پیش‌بینی‌های مدل از مقادیر، و y بردار-N مقادیر واقعی است. بصورت ریاضی، بردار تخمین پارامترها به این ترتیب بیان می‌شود

 

که در آن معیار کمینه‌سازی برای حداقل مربعات بصورت زیر تعریف می‌شود:

 

که r_l(θ) بیانگر مولفۀ l ام بردار خطا بوده و ضریب ½ برای تسهیل روابط بعدی نوشته شده است. کمینه‌سازی معیار فوق توسط روش گوس- نیوتن شامل خطی‌سازی مکرر مساله غیرخطی حول بهترین حدس کنونی از تحمین‌های پارامتری بوده و لذا نیازمند ماتریس N×n ژاکوبین یا گرادیان یا ماتریس مشتقات اول بردار خطا نسبت بردار پارامتری است:

 

روش گوس- نیوتن با حدس اولیه تخمین پارامتر، مثلا θ₀^{^} کار را شروع می‌کند. حدس بعدی نیز بصورت زیر محاسبه می‌شود:

 

که α₁ یک اسکالر (از مرتبه واحد) است که اندازه گام در مسیر p₁ گوس- نیوتن را تعیین می‌کند. این مسیر توسط حل یک مساله حداقل مربعات خطی که مربوط به خطی‌سازی مساله اصلی حول حدس اولیه است، محاسبه می‌شود. خصوصا، p₁ معادلات موسوم به “normal” را ارضا می‌کند:

 

که ‘ نشان‌دهنده ترانهاده ماتریس بوده و J و r در معادله (6) در تخمین فعلی θ₀^{^} مشخص می‌شوند. بطور کلی، p₁ با معکوس کردن ماتریس (J’J) و پیش‌ضرب کردن آن قابل دستیابی است، اما از نقطه نظر عددی روش‌های بهتری برای محاسبه p₁ موجود است، مرجع [2] را ببینید. توجه شود که (J’J) وقتی معکوس‌پذیر است و p₁ متناظر با آن بطور یکتا قابل تعیین که اگر و تنها اگر n ستون J مستقل از هم باشند. از تعریف (4) می‌بینیم که این شرط معادل است با این الزام که نمو‌های پارامترهای مختلف باید بردار خطا را در n مسیر مستقل (در N فضا) در بر گیرند.

اندازه گام α₁ در (5) ممکن است به گونه‌ای انتخاب شود که با حرکت در یک مسیر مشخص، (نزدیک به) بزرگترین کاهش ممکن در معیار V(.) حاصل شود. به محض اینکه θ₀^{^} پیدا شد، کل فرایند تکرار می‌شود، اما اکنون خطی‌سازی حول θ₁^{^}  صورت می‌گیرد. این تکرار تا زمانی ادامه می‌یابد که میزان همگرایی مطلوبی حاصل شده باشد. جزئیات بیشتر این الگوریتم در [4] قابل دستیابی است؛ همچنین خلاصه واضحی از شناسائی ژنراتور در [12] بیان شده است.

دیگر روش‌های نوع نیوتنی برای حل مساله کمینه‌سازی (2) شامل Hessian هستند، که یک ماتریس n×n با مشتقات جزئی دوم معیار خطای V(θ) نسبت به بردار پارامتری θ است، و بصورت زیر بیان می‌شود:

 

برای با‌قی‌مانده‌های کوچک، Hessian را می‌توان بطور آشکار بصورت زیر تقریب زد:

 

که همان ماتریس سمت چپ معادله (6) است. در ادامه این مقاله، ما از عبارت Hessian و نماد H برای اشاره به تقریب Hessian موسوم به J’J استفاده خواهیم کرد.

وقتی داده‌ به صورت نمونه‌های زمانی خروجی یک مدل فضای حالت مدل شده باشد، همانند سیستم تست ما، برای محاسبه ژاکوبین روش‌های موثری موجود است. برای توضیف تشریحی این روش‌ها می‌توانید به [4] مراجعه کنید. مواردی از کاربرد تخمین پارامتر توسط حداقل مربعات برای شناسائی ماشین‌های سنکرون، من جمله محاسبه توابع گرادیان را می‌توان در [9, 12, 14] یافت.

2. شرطی‌سازی پارامتر

ماتریس Hessian H=J’J در سمت چپ معادلات نرمال (6) یک ماتریس متقارن و نیمه معین مثبت است، لذا همه مقادیرویژه آن حقیقی و نامنفی هستند. فرض کنید H واقعا یکتا باشد، و تنها دارای یک مقدار ویژه در 0 و برخی بردارویژه های مربوط به آن باشد؛ این وقتی اتفاق می‌افتد که اگر و تنها اگر n ستون ماتریس J واقعا شامل تنها n-1 بردار مستقل باشد. یک نمایش فوری از یکتائی این است که مسیر گام محاسبه شده از معادلات نرمال (6) را می‌توان در جهت این بردار ویژه H و بدون تحت تاثیر قرار دادن معیارهای خطا (حداقل برای اولین مرتبه)، تغییر داد. چنین وضعیت نامشخصی به شدت در یک مساله تخمین پارامتر فیزیکی نامطلوب خواهد بود، چون نشان می‌دهد که پارامترها را نمی‌توان بطور واضح از مقادیر داده شده تخمین زد. توجه شود که حتی اگر پیش بینی‌های مدل بطور دقیق با اندازه‌گیری‌ها (مقادیر) تطابق داشته باشند، نامشخصی پارامتر همچنان وجود دارد، یعنی حتی اگر V(θ^) = 0، Hessian شامل بخش‌های دوم V(.) است، و نه مقدار خودِ V(.). لذا این حقیقت که کسی یک خطای کوچک بین پیش‌بینی‌های مدل و اندازه‌گیری‌ها می یابد برای تایید کیفیت تخمین‌های پارامتر کافی نیست.

معمولا اینگونه است که H دقیقا یکتا نیست. با این حال، اغلب H تقریبا یکتاست، به این معنی که کوچکترین مقدارویژه آن نسبت به بزرگترین مقدار ویژه آن خیلی کوچک است. چنین موقعیتی متناسب است با این که n ستون J قریبا وابسته باشند، یعنی تاحدود زیادی به زیرفضائی با ابعاد کمتر از n  در فضای N اقلیدسی محبوس شده باشند. این وضعیت نامطلوب نیز هست، چون در تخمین پارامتر نشان دهنده تقریبا حالت نامشخصی است و این حالت از آنجا ناشی شده است که تعداد پارامترها بیش از آنی است که می‌توان بطور مطمئن از مقادیر موجود بدست آورد. نزدیکی به وضعیت یکتایی توسط عدد شرطی سنجیده می‌شود، [2]، که (در صورتی که ماتریس متقارن و معین مثبت باشد) برابر است با نسبت بزرگترین مقدار ویژه به کوچکترین مقدار ویژه. ما عدد شرطی مربوط به Hessian را با k(H) نشان می‌دهیم.

[ بحث ما می‌توانست به جای مقادیر ویژه و بردارهای ویژه H، در چارچوب مقادیر یکتا و بردارهای یکتای مربوطه J، [2]، شکل بگیرد، اما از آنجا که مقادیر ویژه و بردارهای ویژه موضوعات آشنائی هستند از آنها استفاده می‌کنیم. از نقطه نظر عددی، ترجیح داده می‌شود تا با تجزیه مقدار یکتا (SVD) ی بردار J کار شود به جای آنکه H با توجه به (8) محاسبه شود و سپس تجزیه- ویژه آن تعیین شود، اما این موضوع جدی‌ای برای بحث در اینجا نیست.]

چندین شاخصه بارز عدد شرطی در Hessian موجود است. برای مثال، با توجه به تعریف H به عنوان ماتریس مشتقات جزئی مرتبه دوم مربوط به معیار خطا V(θ)، چنین بر می‌آید که مقادیر ویژه Hessian توصیف‌کنندۀ خمیدگی (انحنا) معیار خطا در راستای بردارهای ویژه مربوطه هستند. عدد شرطی بزرگ برای Hessian نشان می‌دهد که معیار خطا با θ در برخی جهات نسبت به جهات دیگر، بسیار کندتر تغییر می‌کند. مفهوم تخمین پارامتر این است که بردار پارامتر در جهاتی که خمیدگی کم است، نسبت به جهاتی که دارای خمیدگی بالاست، بسیار ضعیف‌تر تعیین می‌شود.

از دیگر عواقب عدد شرطی بزرگ که از معادله (6) قابل استنباط است، این است که یک تغییر جزئی در میزان خطا می‌تواند یک تغییر بزرگ در مسیر گام ایجاد کند، به این صورت که نسبت این تغییرات احتمالا به بزرگی عدد شرطی باشد. در نهایت این که عدد شرطی می‌تواند منجر به تعداد بالای تکرار جهت همگرایی الگوریتم گوس- نیوتن شود.

3. انتخاب زیرمجموعه‌ای و تخمین مرتبه کاهش‌یافته

استراتژی پیشنهاد شده در [17, 18] برای بهبود رفتار تخمین پارامتر حداقل مربعات غیرخطی این است که تعیین کند محورهای کدام پارامترها در نزدیکترین محل به جهات نامناسب Hessian قرار می‌گیرند و این که مقادیر پارامتری تخمین‌های اولیه را از طریق فرایند تخمین تکرار، تصحیح کند. اگر Hessian دارای ρ مقدار ویژه بزرگ و n-ρ مقدار ویژه کوچک باشد، آنگاه کاری که ما در گام بروزرسانی (5) انجام می‌دهیم این است که n-ρ مولفه بردار مسیر گام را برابر 0 قرار دهیم، تا این که پارامترهای مربوطه تغییر نکنند. آنگاه معادلات نرمال منتجه تنها شامل ژاکوبین خطا نسبت به ρ پارامتر باقی مانده یا "اکیتو" خواهد شد، م این ژاکوبین را با J_ρ نشان می‌دهیم، و توجه می‌کنیم که ستون‌های آن تنها زیرمجوعه‌ای از ستون‌های J هستند، یعنی آنهایی که متناظر با پارامترهای اکتیو هستند. Hessian مربوطه برابر است با H_ρ=J^’_ρJ_ρ .   

هدف انتخاب زیرمجموعه‌ای این است که تشخیص دهد کدام ρ پارامتر را اکتیو نگه دارد تا Hessian مربوطه H_ρ دارای عدد شرطی تا حد امکان کوچک باشد. یک روش جستجوی ترکیبی از لحاظ محاسباتی بسیار گران تمام خواهد شد. الگوریتم ذیل، همانی است که در [17] مشخص شده است (و به نوبه خود از الگوریتم انتخاب زیرمجموعه برای حداقل مربعات خطی بیان شده در [2] مشتق شده است)، بسیار ارزانتر بوده و نتایج خیلی خوبی را به همراه دارد.

الگوریتم (انتخاب زیرمجوعه و تخمین کاهش مرتبه)

• با داشتن  تخمین اولیه بردار پارامتر θ^{^}₀، تجزیه ویژۀ H(θ^{^}₀) را محاسبه کنید، که نتیجه می‌دهد H=VΛV’.
• ρ را بگونه‌ای تعیین کنید که اولین ρ  مقدار ویژه H از n-ρ مقدار باقی‌مانده دیگر بسیار بزرگتر باشند.
• پارتیشن V = [ V_ρ V_n-ρ ] را تشکیل دهید که V_ρ اولین ρ ستون V است.
• با تجزیه QR به کمک چرخش ستونی، [2]، یک ماتریس جایگشتی P را برای V’_ρ تعیین کندی، یعنی عبارت زیر را تعیین کنید

 

که Q یک ماتریس متعامد بوده و اولین ρ ستون R تشکیل مارتیس بالامثلثی را می‌دهند.

• از P استفاده کنید تا بردار پارامتری θ را با توجه به  مرتب‌سازی دوباره کنید. 
• پارتیشن  را با  که شامل اولین ρ عنصر  است، شکل دهید.  را به تخمین اولیه  اصلاح کنید.
• با حل  به شرط  ، مقدار  را محاسبه کنید.

[فرض شده است که تخمین اولیه  صحت کافی برای الگوریتم را داشته باشد تا انتخاب مجموعه‌ای را فراهم کند که از انتخاب مبتنی بر Hessian ارزیابی‌شده در تخمین بهینه، تفاوت چشمگیری نداشته باشد. با بهترین تخمین فعلی پارامترها، الگوریتم را می‌توان از هر گامی شروع کرد تا بتوان تعیین کرد که آیا انتخاب زیرمجموعه تغییر کرده است یا نه.]

III. اعمال سیستم تست

1. مدل سیستم

سیستم تست ما از مدل توصیف‌شده در [16] بدست آمده است و شامل مدل سیگنال کوچک ذیل است با توربوژنراتور 100 MVA متصل به یک باس بی‌نهایت. این مدل شامل معادلات نموی توصیف‌کننده ماشین سنکرون حول نقطه کار است. معادلات نموی محور d در نماد استاندارد، [7, 8]، و همانند [16] بصورت زیر بیان می‌شوند:

معادلات 10 تا 12.

ورودی معادلات بالا ΔV_q­ و ΔV_{f d} هستند، در حالی که Δi_d خروجی اندازه‌گیری شده است. پارامترهایی که باید تخمین زده شوند عبارتند از x_d، x^’_d، x”_d ، T’_do، T”_do  و k = x_{a d}/R_{f d}. بطور مشابه، معادلات نموی در راستای محور q بصورت ذیل است

 

ورودی ΔV_d بوده، Δi_q ورودی اندازه‌گیری شده است و x_q،x”_q  و T”_qo پارامترهایی هستند که باید تخمین زده شوند.

فرض شده است ژنراتور از طریق یک خط با راکتانس x_e به یک باس بی‌نهایت با دامنه ولتاژ V_B متصل شده باشد، این دو کمیت پارامترهایی هستند که قرار است تخمین زده شوند. این اتصال روابط فازوری نشان داده شده در شکل 1 را به همراه دارد، که در آن I جریان از سمت ژنراتور به باس بی‌نهایت، V_t ولتاژ ترمینال ژنراتور و Ф و θ و زاویه توان δ_t در شکل تعریف شده‌اند. خطی‌سازی این روابط حول یک نقطه کار منجر به معادلات نموی‌ای می شود که ΔI، ΔФ، ΔV_t، Δθ، ΔV_d و ΔV_q را به هم مرتبط می‌کنند.

معادلات حرکتی نموی سیستم عبارتند از:

 

که ω سرعت زاویه‌ای روتور، ω_s فرکانس سنکرون،  P = V_di_d + V_qi_q توان الکتریکی خروجی ژنراتور، H ثابت اینرسی ماشین و D ضریب میرایی مکانیکی است. ورودی‌های معادلات فوق ΔP و Δθ هستند، در حالی که Δδ_t خروجی اندازه‌گیری شده است. هردوی H و D پارامترهایی هستند که قرار است تخمین زده شوند.

با کنار هم قرار دادن روبط نموی فوق و حذف متغیرهای ناسب، ما به یک مدل فضای حالت سیگنال کوچک برای سیستم دست می‌یابیم که شکل استاندارد دارد:

 

با بردار حالت، مقادیر خروجی و ورودی‌ها به ترتیب برابرند با:

 

برای راحتی، ما نقطه کار را حول نقطه‌ای قرار می‌دهیم که برای آن مدل سیگنال کوچک با تعیین توان اکتیو P، توان راکتیو Q=V_qi_d - V_di_q و زاویه α_B از V_B تا محور d ، شکل می‌گیرد.

آزمایش‌های ما از شرایط عملکردی متناظر با P =1.0 p.u.، Q = 0.1 p.u.، و α_B = 70˚ پیروی می‌کردند.

2. فرمول‌بندی آزمایش‌های تخمین

یک روش تخمین پارامتر حداقل مربعات غیرخطی برای شناسائی ماشین سنکرون در [16]، به همراه نتایج اعمال آن به چندین ژنراتور واقعی بزرگ بیان شده است. با ژنراتور متصل به یک سیستم قدرت بزرگ و بار متعادل، تغییر نگهانی تحریک ΔV_fd به چندین روش مناسب می‌تواند اعمال شود. سپس گذراهای رخ داده در ولتاژهای خط V_ab، V_cb، جریان‌های فاز i_a، i_b­ و i_c، ولتاژ میدان V_fd و زاویه توان δ_t ثبت می‌شوند، و به عنوان پایه برای تخمین پارامتر به کار می‌روند.

جدول 1 پارامترهایی را لیست کرده است که باید تخمین زده شوند. همه پارامترهای عنوان شدهریال به جز V_B و x_e در [16] از طریق اعمال روش گوس- سایدل، و به کار گیری معادلات الکتریکی (10-14) و معادلات مکانیکی (15-17) برای مدلسازی داده‌ها مشخص شدند. مدل زیرسیستم الکتریکی شامل 9 پارامتر است؛ آنچه که ما باید نشان دهیم این است که تخمین همه این 9 پارامتر بدون تثبیت یک زیرمجموعه از آنها می‌تواند منجر به نتایج به شدت غیرقابل قبول برای مساله تخمینِ بیان شده شود.

از آنجا که داده‌های آزمایشگاهی مرجع [16] در اختیار ما قرار نداشت، و نیز به منظور ارزیابی کنترل‌پذیرتر و مقایسه استراتژی‌های تخمین پارامتر، برای تولید "اندازه‌گیری‌ها"ی ترکیبی که به عنوان پایه مطالعات تخمین ما به کار می‌روند، ما از مدل سیستم زیربخش قبلی استفاده کردیم. برای تولید این اندازه‌گیری‌ها (مقادیر)، ما پارامترهای شناسائی نهایی مرجع [16] را، که در سطر انتهایی جدول 1 بیان شده است، به عنوان پارامترهای صحیح یا اساسی در نظر می‌گیریم، یک نقطه کار منطقی انتخاب می‌کنیم، و مدل را با یک اغتشاش در ولتاژ میدان ΔV_fd تحریک می‌کنیم - که در شکل 2 نشان داده است – که به شکل‌ موج‌های اندازه‌گیری شده‌ مشابه با اندازه‌گیری‌های آزمایشگاهی بیان شده در  [16] منجر می‌شود. این شکل‌موج‌های اندازه‌گیری‌شده، که به عنوان ورودی‌های فرایند تخمین ما به کار می‌روند عبارتند از Δi_d، Δi_q، ΔV_d، ΔV_q و Δδ_t، نشان داده شده در شکل‌های 3-5. (شکل‌موج‌های شکل 4 در واقع با مقداری نویز اضافی در آنها نشان داده شده‌اند، در سطوحی که بعدا در این مقاله برای مطالعه حساسیت تخمین پارامترها به نویز به کار می‌رود.)

خواننده باید در نظر داشته باشد که هدف ما مقایسه روش‌ها است تا اینکه بخواهیم پارامترهای شناسائی شده را با نتایج بدست آمده از [16]، مقایسه عددی بکنیم. لذا، این حقیقت که برای پارمترهای صحیح ما از مقادیری استفاده می‌کنیم که قبلا نتیجه فرایند تخمین نامناسب [16] بودند، جای نگرانی ندارد، بخصوص که مقادیر بیان شده در سط انتهایی جدول 1 از لحاظ فیزیکی کاملا معقول هستند.

برای مقایسه، مقادیر نامی تولید‌کننده برای بیشتر این پارامترها، همانطور که در [16] بیان شده است، در سطر بالایی مقادیر "صحیح" در جدول لیست شده‌اند. ما از این مقادیر تولید‌کننده به عنوان تخمین‌های اولیه برای مقادیر پارامترها استفاده می‌کنیم؛ مقادیر آغازین برای چهار پارامتر که توسط تولیدکننده فراهم نشده است بطور اختیاری انتخاب شده‌اند.

 

3. تخمین V_B، x_c، H و D

زیرسیستم الکتریکی مل تست مرکز توجه مطالعات ما در انتخاب زیرمجموعه است، اما قبل از اینکه در زیربخش بعدی  زیرسیستم‌های الکتریکی را مدنظر قرار دهیم، ما ابتدا بطور مختصر می‌پردازیم به تخمین V_B، x_c، H و D .

در [16] پیشنهاد شده است که V_B و x_c توسط رگراسیون خطی و از رابطه زیر تعیین شوند:

 

که در آن b₁ = 1/V_t، b₂ = -I²/V_t و b₃ = 2I cos(π/2-Ф). اندازه‌گیری‌ها مقادیر V_t، I و Ф را برای ما فراهم می‌کنند. با این حال، از آنجا که رابطه (23) در x_e غیرخطی است، باید برای بدست آوردن نتایج قابل اطمینان از روش تخمین پارامتر غیرخطی استفاده کرد. علاوه بر این، وقتی گذراهای اندازه‌گیری شده د مقایسه با مقادیر نقطه کاری خود کوچک باشند، مساله تخمین بدحالت است. لذا ما با دو گام ذیل که شامل معادلات نموی است، تخمین V_B و x_e را پیشنهاد می‌کنیم.

 

• با خطی‌سازی (23) حول نقطه کار، x_e را می‌توان بر اساس رابطه زیر

 

و  از طریق اعمال یک روش تخمین غیرخطی مثل گوس- نیوتن بدست آورد. A_i ها در رابطه (24) شامل مقادیر نطه کاری مشخص و گذراهای δ_t، i_d و i_g هستند.

 

• به محض آنکه x_e تخمین زده شد، V_B را می‌توان به طور مستقیم از روابط شکل 1 محاسبه کرد.

 

تخمین H و D با اعمال روش گوس- نیوتن به مدل نموی فضای حالت (15-17) انجام گرفت. شرط Hessian مربوطه این است که k(H) = 79.3 باشد، که نشان دهنده یک مساله تخمین خوب‌حالت است. همانطور که از این شرط انتظار می‌رود، هر دوی H و D می‌توانند بطور قابل اطمینانی تخمین زده شوند.

 

4. تخمین پارامترهای الکتریکی

 

در این بخش نشان می‌دهیم که تخمین پارامترهای زیرسیستم الکتریکی (10-14) را می‌توان با انتخاب زیرمجموعه بطور قابل توجهی بهبود داد. بردار پارامتری که باید تخمین زده شود بصورت زیر است:

 

که در جدول 1 نیز بیان شده است. Hessian مرتبه کامل ارزیابی شده در پارامترهای "صحیح" ، مقادیر ویژه ذیل را اتخاذ می‌کند:

 

و دارای عدد شرطی برابر 1.34×10¹⁴ است، که نشان‌دهنده شرایط بدرفتاری است. [ ارزیابی Hessian در مجموعه‌های نزدیک یه پارامترها منجز به نتایج نسبتا مشابهی می‌شود؛ برای اهداف ما، کافی است تا آن را در مقادیر "صحیح" ارزیابی کنیم.] واضح است که دو مقدار ویژه آخر نسبتا خیلی کوچک هستند؛ بین مقادیر ویژه هفتم و هشتم فاصلیه بسیار بزرگی موجود است. همین موضوع پیشنهاد می‌کند که دو پارامتر بدرفتار وجود دارد که مقادیر آنها را باید در تخمین‌های اولیه تصحیح کنیم تا به یک مساله خوش‌رفتار دست یابیم.

استفاده از الگوریتم ما منجر به دسته‌بندی پارامترها به 7 پارامتر خوش‌رفتار و 2 پارامتر بدرفتار می‌شود:

 

از آنجا که k و T’_do به دو موقعیت آخر بردار پارامتری بازمرتب‌شدۀ  انتقال یافته‌اند، این‌ها پارامترهایی هستند که باید تصحیح شوند.

به جای نگاه به نتایج دو پارامتر تصحیح شده، بهتر است تمامی احتمالات را مورد آزمون قرار داد. لذا ما الگوریتم خود را برای همه گزینه‌های ρ از 9 تا 1 اعمال کردیم، تا تعیین کنیم که کدام 9-ρ پارامتر باید تصحیح شوند. دیگر پارامترهای اصلاح نشده به کمک اندازه‌گیری‌های بدون نویز و یک معیار پایانی به شکل ذیل تخمین زده شدند:

 

که c یک آستانه ثابت کوچک است.

جدول 2 نشان دهنده: (i) تعداد تکرارهای لازم برای برآورد معیار پایانی؛ (ii) عدد شرطی k(H_ρ)  مربوط به مساله مرتبه کاهش یافته بدست آمده از اصلاح پارامترهایی که توسط الگوریتم مشخص شده‌اند؛ و (iii) عدد شرطی مرتبه کاهش یافتۀ ایده‌آل k_ρ(H) = λ₁(H)/λ_ρ(H) ، که λ_i(H) نمایانگر بزرگترین مقدار ویژه i ام H است. این عدد شرطی مرتبه کاهش یافته وقتی بدست می‌آید که ما به جای n-ρ پارامتر انحصاری، n-ρ بدترین ترکیب خطی پارامترها را ثابت نگه داریم. تقریب نزدیک k_ρ(H) با k(H_ρ) نشان دهنده کارائی الگوریتم ما در انتخاب n-ρ پارامتر انحصاری است.

ملاحظه می‌شود که اصلام تنها دو پارامتر، تعداد تکرارها را تقریب 10 برابر کاهش می‌دهد و عدد شرطی k(H_ρ) را نیز در مقایسه با مورد مرتبه کامل تا 11 مرتبه در دامنه کاهش می‌دهد. این نتایج تاکید می‌کنند که اصلاح دو پارامتر k  T’_do معقول است.

نتایج قبلی به اندازه‌گیری‌های بدون نویز اختصاص داشتند. برای ارزیابی اثرات نویز روی فرایند تخمین، در مدل الکتریکی، سیگنال‌های نویز سفید با توزیع نرمال با متوسط صفر به سیگنال‌های اندازه‌گیری بدون نویز افزوده می‌شوند (10-14). واریانس‌های این سیگنال‌های نویز برابر 0.5% دامنه‌های حالت ماندگار کمیت‌هایی انتخاب شدند که این سیگنالها به آنها افزوده شدند. شکل 4 نشان دهنده مثالی از نسخه‌های توزیعی ΔV_d و ΔV_q می‌باشد.

برای سیگنال‌های دارای اغتشاش، 20 دور تخمین پارامتر برای هر دو مورد مرتبه کامل و مورد مرتبه کاهش یافته انجام گرفت (با k و T’_do اصلاح‌شده به مقادیر "صحیح" آنها). نتایج در جدول 3 نمایش داده شده‌ است. خطاهای متوسط و انحراف از استانداردهای پارامترهای تخمین‌زده شده، که به صورت درصدهایی از مقادیر "صحیح" خود بیان شده‌اند، به عنوان شاخص‌های کیفیت تخمین‌های پارامتر به کار می‌روند.

می‌توان ملاحظه کرد که در مورد مرتبه کامل انحرافات میانگین بسیار بزرگی (تا 791% در x”_d) از مقادیر "صحیح" وجود دارد؛ در حالی که بیشترین انحراف میانگین برای مورد مرتبه کاهش‌یافته تنها 9.7% (در T”_do) است. علاوه بر این، قابلیت تولید مجدد تخمین‌های پارامتری برای مورد مرتبه کاهش‌یافته بسیار بالاست، یعنی انحراف از استانداردهای نرمالیزه‌شده در مقایسه با مورد مرتبه کامل بسیار کوچک‌اند. این موضوع به وضوح نشان دهنده بهبود قابل توجهی است که از اصلاح زیرمجموعه‌ای از تنها دو پارامتر حاصل شده است. همچنین نشان می‌دهد که در اندازه‌گیری‌های همراه با نویز، تخمین پارامتر بدون اصلاح پارامترهای بدرفتار می‌تواند به طور یقین غیرقابل اطمینان باشد.

باید تاکید کرد که همه دورهای تخمین‌ پارامترها از یک معیار پایانی مشابه و یکسانی (28) استفاده کردند. این بدان معناست که همه مجموعه‌های پارامترهای تخمین‌زده شده، در هر دو مورد مرتبه کامل و مرتبه کاهش‌یافته،برای یک مقدار کوچک ثابت c، یک تابع هدف V(θ) < c  را تولید می‌کنند، یعنی همه بردار خطاهای پایانی r(θ) دارای دامنه کوچکی هستند. به همین دلیل است که دامنه r(θ) نمی‌تواند به عنوان تنها معیار ارزیابی تخمین پارامتر به کار رود، همانطور که در [16] و جاهای دیگر انجام گرفته است. این معیار تنها در ترکیب با دیگر مشخصات؛ مثل مشخصاتی که در جدول 3 استفاده شده است، معقول می‌نماید.

در کاربرد عملی، پارامترها نمی‌توانند به مقادیر "صحیح" خود اصلاح شوند چون این‌ها نامشخص‌اند. به جای آن از یک تخمین قیاسی (a priori estimate) باید استفاده کرد. به منظور نشان دادن اثرات اصلاح k و T’_do برای مقادیری غیر از مقادیر "صحیح" شان، موارد زیر بررسی شدند:

مورد A               k و T’_do بین ±5% از مقادیر "صحیح" خود تغییر می‌کنند

مورد B              k و T’_do بین ±10% از مقادیر "صحیح" خود تغییر می‌کنند

مورد C               k و T’_do بین ±20% از مقادیر "صحیح" خود تغییر می‌کنند

برای هر کدام از موارد فوق، 20 دور تخمین پارامتر همانند قبل توسط سیگنال‌های ورودی و خروجی دارای نویز انجام گرفت. خطاهای نسبی متوسط پارامترهای تخمین‌زده شده نسبت به مقادیر "صحیح" شان در جدول 4 ارائه شده‌اند.

با مقایسه نتایج جداول 3 و 4، می‌توان دید که اصلاح پارامترهای بدرفتار به مقادیری غیر از مقادیر "صحیح" خود منجر به تخمین‌های نامناسب (biased) دیگر پارامترهای باقی‌مانده می‌شود. با این حال، حتی در مورد C، پارامترهای تخمین‌زده شده نسبت به پارامترهای بدست آمده از مورد مرتبه کامل بسیار بهتر‌ند. انحرافات استاندارد برای موارد A-C ارائه نشده‌اند چون بسیار مشابه مواردی تغییری می‌کنند که در سطر آخر جدول 3 بیان شده است، یعنی آنها مجددا در مقایسه با مورد مرتبه کامل بسیار کوچک‌اند.

جدول 3 و 4 نشان می‌دهند که پارامترهای xq، x”q و T”qo همواره به خوبی شناسائی می‌شوند. با نگاه به بردار پارامتری بازمرتب‌شده در (27) می‌شد همین انتظار را داشت. پارامترهای بیان شده سه موقیعت اول را به خود اختصاص می‌دهند، که نشان می‌دهد این پارامترها بهترین شرایط رفتاری را دارند.

حتی اگر پارامترهای اصلاح شده با مقادیر "صحیح" خود اختلاف داشته باشند، تخمین‌ پارامترهای نامناسب (biased)  متناظر بدست آمده از تخمین مرتبه کاهش‌یافته، می‌تواند رفتار سیستم را بسیار بهتر از تخمین‌های مرتبه کامل پیش‌بینی کند. برای نشان دادن این موضوع، متغیرهای حالت مدل الکتریکی به کمک تخمین‌های متوسط جداول 3 و 4 شبیه‌سازی شدند. در این بررسی، برای تغییر جزئی نقطه کار ژنراتور، تحریک ΔV_{f d} با ضریب 1.5 افزایش یافت.

جدول 6 مثالی از متغیر حالت شبیه سازی ΔE”_q را برای موارد مرتبه کامل و C نشان می‌دهد. می‌توان ملاحظه کرد که متغیرهای حالت مورد C که با خط نقطه‌چین نشان داده شده است، نسبت به متغیر حالت متناظر با مورد مرتبه کامل، به حالت واقعی بسیار نزدیک‌تر هستند.

IV. نتیجه‌گیری

این مقاله انتخاب زیرمجموعه برای تخمنی پارامتر غیرخطی را بررسی کرده و کاربرد آن در شناسائی مدل ژنراتور سنکرون با پارامترهای زیاد را تشریح کرد. با اصلاح برخی پارامترهای بدرفتار به صورت پارامترهای اولیه، یک مساله تخمین مرتبه کاهش‌یافته و خوش‌رفتار حاصل شد. اصلاح تنها پارامترهای با انتخاب درست و با دقتِ مدل الکتریکیِ با نُه پارامتر در مقایسه با مورد مرتبه کامل، خصوصا در حضور نویز افزوده شده- برحسب تعداد تکرارها و انحرافات استاندارد از پارامترهای تخمین زده شده- منجر به بهبود قابل توجه در عملکرد تخمین شد.

باور ما این است که در زمینه تطبیق پیچیدگی مدل با کیفیت اندازه‌گیری‌های موجود در سیستم‌های قدرت، و این‌که چگونه باید از مدل‌های منتجه برای انواع مختلف مطالعات سیستم‌ها استفاده کرد، کارهای زیادی باقی مانده است که باید انجام شود. وقتی سیستم‌های قدرت به سمت شرایط نامنظمی پیش ‌رود، احتمالا با اشتراک کم داده‌ها بین بازیگران مختلف سیستم، نیاز به روش‌های مناسب برای شناسائی، بطور فزاینده‌ای احساس خواهد شد، و مفهوم شرطی‌سازی پارامتر مطمئنا نقش مهمی در توسعه این روش‌ها ایفا خواهد کرد.